こんにちは!

篠崎駅と瑞江駅のちょうど真ん中にある、個別指導plus1の小山です!


4番 整数分野
今年はどう来るかなと思いましたが、まさかの倍数の判定法
渋いというか。。。。約数の個数は常連、進法も常連だったのですが
倍数の判定法とは

といっても倍数の判定法は中学受験の小6でも知ってますので
高3生は抜かりなくやってきたことでしょう。

4で割れる・・・・下二けた00 または下二けたが4の倍数
9で割れる・・・・各桁の和が9の倍数


これを知ってれば 37aが4の倍数になるには
             7aが4の倍数 よって72 76 以上
           a=2,6
(2)も 7b5c が9の倍数になるのは 7+5+b+c=9の倍数
                         12+b+c=9の倍数
                         b+cは9+9=18がMAXなので
                          b+c=6or15 ・・・・★
   ここで7b5c が4の倍数になるのは 5cのところが52or56
          つまりc=2or6 ・・・・△
  ★と△を総括して b=4,c=2
             b=0,c=6
             b=9,c=6   以上7452、7056、7956の3通り
 このうち 7b5cがMinになるのは 7056 b=0,c=6のとき
       7b5cがMaxになるのは 7956 b=9,c=6のとき

  7b5c=(6×n)^2 となるb、c、nを決める問題
これは36・n^2 つまり4でも9でも割れる
  上記の7452、7056、7956の3通りそれぞれ
       36×207  36×196 36×221 となり
   36×14^2となります  よってb=0 c=6 n=14となります

(3)約数の個数 これは集合のあたりにも公式がありましたね

  素因数分解 右肩の指数に1をたして それらをかける

  1188=2^*3^*11^
   よって個数は (2+1)*(3+1)*(1+1)=24個
 
1188の約数は24個ともどれも2^a*3^b*11^cという形であらわせます
                                                ただし a=0,1,2   b=0,1,2,3  c=0,1

 この24個のうち2の倍数はa=0だと2の倍数に絶対になれないので
    a=1or2  b=0,1,2,3  c=0,1 となり 2×4×2=16個
 同様に4の倍数はa が2以上が絶対条件
 a=2  b=0,1,2,3  c=0,1 となり 1×4×2=8個

最後は

10進法なら0が続く個数=10で割れる回数
ということを利用する  10000 なら4回10で割れる

例 2進法で110000 これは10進法にすると
1×2^5+1×2^4+0×2^3+0×2^2+0×2^1+0×2^0=48
「10進法で48は2進法で表すと末尾に0がいくつ続きますか?」
48÷2=24
24÷2=12
12÷2=6
6÷2=3   
ということで4回2で割れる   そして10進法48=2進法110000 0が4個ですね

今回の問題は1188のすべての約数の積が2で何回われるかに帰着します。
そこで直前の問題 約数24個のうち2の倍数が16個 4の倍数は8個
16+8=24 24個並ぶことになります。

★最後の問題はセンターにしては新傾向で厄介だと思います。
 私大の一般入試とか、受験用問題集では見かけますが・・・
 
5番  平面図形(今年は三角比も含む)
     今年は簡単でしたね。
まず△ABCをしっかりかくこと  辺の長さから 角Cが鋭角(角度小さ目)の
鋭角三角形です。

ABを短く書きましょう
そうすると 外接円も書きやすいです。

書けましたら、ADが3 CD=4なので方べきの定理(センターおなじみ)
CE・CB=CD・CA より
     =4・7=28  アイが28
そのままCE・8=28   CE=7/2  ウエ

次ですが、最初に三角形をしっかり描かないとここでミスする場合があります
Fの位置はABをAのほうに延長し DEをDのほうに延長させた線の交点です

ツイッターを見てたら 下のほうに(B側やE側に無理やり伸ばした人がいるようで)


メネラウスを使います(これもセンター王道)
BF/AF ・ AD/DC ・ CE/BE =1 ★

CE/BE=7/2 ÷9/2=7/9 より
★は BF/AF ・ 3/4 ・ 7/9  =1  よってBF/AF =12/7
AFをxとおくと BF=3+xとなるので
 (3+x)/x =12/7  この1次方程式を解いて x=21/5
このあたりの方程式も分数ですが頑張りましょう。

次の∠ABCですが余弦定理を使うパターンともう一つあります

まず余弦定理
cos∠ABC =3^2+8^2-7^2)/(2・3・8)=1/2  よって∠ABC=60度

もう一つのやり方はAからBCに垂線AHを下ろし△ABHと△AHCで
AH^2を三平方の定理を使って2パターンで表しドッキング
(中3ないし高1で1度は経験あるはず)を使って
BHが3/2 とでるので △ABHが直角三角形でAB=3 BH=3/2より
cos∠ABCは定義通り BH/AB よって3/2 ÷3 =1/2 よって60度

昨年までの平面図形の大問では三角比や正弦余弦定理を使わなかったので
使ってはいけないというかどこかで、その発想を遮断させた可能性もありますが
冷静に使えるものをどんどん投入という意識があったかで分かれたでしょう。

内接円の半径ですがこれも王道 三角形の面積と絡める(センターや一般で必須)
まず△ABCの面積を面積公式で6√3と出しておきます
内接円の半径をrとすれば
△IBC+△ICA+△IAB=△ABCなので
8×r÷2+7×r÷2+3×r÷2=△ABC 
よってr=2√3/3  

最後は内心の定義 内心は三つの内角の角の2等分線の交点です
そこでBの角の二等分線を引きIに結びます
Iから垂線IZをおろし
△IBZという直角三角形を作ると ∠IBZ=30度となります IZ=r=2√3/3
なので

sin30°=IZ/IB
 1/2  =2√3/3  ÷ IB   よって IB=4√3/3


おおむね解きやすい問題が多いですが
ところどころ難しさもあったかもしれません 平均点は昨年より上がるでしょうが
一時期の60点後半とか70点になることはないとおもいます。

後半3つの選択問題の選び方も左右したかもしれません。

 ■個別指導Plus1




南篠崎教




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