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大問3
 (1) 等比数列　Ｓ［ｎ］　＝１・２＾（ｎ－１）＝２＾（ｎ－１）
　　　s［１］＝１　　s［２］＝２　　ｓ［３］＝４　
　　　s［１］・s［２］・s［３］＝１・２・４＝８
　　　s［１］＋s［２］＋s［３］＝１＋２＋４＝７

（２）ｓ［ｎ］＝ｘ・ｒ＾（ｎ－１）
　　　s［１］＝ｘ　　s［２］＝ｘｒ　　ｓ［３］＝ｘｒ＾２
　　　s［１］・s［２］・ｓ［３］＝ｘ・ｘｒ・ｘｒ＾２＝ｘ＾３・ｒ＾３＝a^3 ・・・①
　　　①よりｘｒは実数なので　ｘｒ＝a　　・・・・③
　　　ｘ＋ｘｒ＋ｘｒ＾２＝ｂ・・・・②
　　　③より　ｘ＝a／ｒ
　　　これを②代入
　　　（a／ｒ）＋（a／ｒ）・ｒ＋（a／ｒ）・ｒ＾２＝ｂ
　　　　（a／ｒ）＋a ＋ar ＝ｂ ・・・・★　 aが０ではないので　
　　　　ここまでの流れを見てもｒも０にはならない
　　　　★を両辺ｒ倍　　a＋ar＋ar^2=ｂｒ
　　　　　　　　　　　　　ar^2＋（a-b）ｒ＋a=0　・・・・④
　　　　　　　　　④を満たす実数ｒが存在するので
　　　　　　2次方程式で実数解ｒが存在　→判別式が０以上
　　　　　　（a-b）＾２－４a・a≧０　　
　　　　　　３a^2＋２ab－ｂ＾２≦０　　・・・・⑤
（３）a=64  ｂ＝３３６　　ｒ＞１
　　 ③より　xr=64
　　④より　６４r^2＋（６４-３３６）ｒ＋６４=0
　　　　　　　　　４ｒ＾２－１７ｒ＋４＝０　　　（４ｒ－１）（ｒ－４）＝０　　ｒ＝１／４　，４
　　ｒ＞１より　　　ｒ＝４　よって③より　ｘ＝１６
　　　　　　　　よってｓ［ｎ］＝１６・４＾（ｎ－１）
　　ｔ［ｎ］＝ｓ［ｎ］・log［４］ｓ［ｎ］　より
　　　　　＝１６・４＾（ｎ－１）・log［４］（１６・４＾（ｎ－１））　
　　　　　指数法則を使い
　　　　　＝４＾（ｎ＋１）　・　log［４］４＾（ｎ＋１）
　　　　　　　ログの公式より真数の指数部分を前に持ってくる
　　　　　＝４＾（ｎ＋１）・（ｎ＋１）＝（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋１）　・・・★
　★は　ｎ＋１のところが等差数列　４＾（ｎ＋１）は等比数列


　Ｕ［ｎ］＝２・（４＾２）　＋３・（４＾３）＋・・・・＋（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋１）
４Ｕ［ｎ］　　　　　　　　　＋２・（４＾３）　　　　＋　ｎ・４＾（ｎ＋１）　　＋（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）

上引く下を実行
－３Ｕ［ｎ］＝２・（４＾２）＋１・（４＾３）＋・・・＋１・４＾（ｎ＋１）　－　（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　等比数列の和（ｎ－１）項分

－３Ｕ［ｎ］＝３２＋｛６４・４＾（ｎ－１）－１｝／（４－１）　　－　（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
　
－３Ｕ［ｎ］＝３２＋｛６４・４＾（ｎ－１）｝－１／３　－　（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
両辺3倍

－９Ｕ［ｎ］＝９６＋６４・｛４＾（ｎ－１）－１｝　－　３（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
－９Ｕ［ｎ］＝９６＋６４・｛４＾（ｎ－１）－１｝　－　３（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
－９Ｕ［ｎ］＝３２＋４＾（ｎ＋２）－　３（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
９Ｕ［ｎ］＝－３２－４＾（ｎ＋２）＋　３（ｎ＋１）・４＾（ｎ＋２）
９Ｕ［ｎ］＝（３ｎ＋２）．４＾（ｎ＋２）　－３２
　Ｕ［ｎ］＝｛（３ｎ＋２）／９｝．４＾（ｎ＋２）　－３２／９


大問４　　平面ベクトル　正六角形　　座標平面上

座標があるのですべて座標が求まるか→正六角形なので線対称が活用可能

半径2の円（単位円代わりになるのかな）

（1）先に座標平面に円を書き正六角形書いておきましょう
　　さてＡ（２，０）なので　Ｄ（－２，０）　Ｂの座標ですが
　　三角形ＯＡＢを考え、これが正三角形なので１：２：√３を使うと
　　Ｂ（１，√３）ですね

（２）問題の誘導に乗っかって図に記入していきましょう
　　　ＭやＮを記入していきます。
　　
　　ここから先　ベクトルの→は省略します。
　　まずはＯＮは後回し。準備としてＡＭを考えます。
　　センター恒例、位置ベクトルであらわしましょう
　　ＡＭ＝ＯＭ－ＯＡ　です。　　ＯＭは中点の位置ベクトルより　（ＯＢ＋ＯＤ）／２
　　　　　＝（ＯＢ＋ＯＤ）／２　－　ＯＡ　
　　　　　＝（－２＋１，０＋√3）／２　　－（２，０）
　　　　　＝（－５／２　　,√３／２）　　　　　ＣはＢのｙ軸に対称の位置　（－1，√３）
　　ＤＣ　＝（－１，√3）－（－２，０）
　　　　　＝（１，√３）

さあＯＮに移りましょう　
ＯＮ＝ＯＡ＋ｒＡＭ
ＯＮ＝ＯＤ＋ｓＤＣ　　を使います（誘導に乗っかる）

ＯＮ＝（２，０）＋ｒ（－５／２　　,√３／２）＝（２－（５ｒ／２），（√3ｒ／２））
ＯＮ＝（－２，０）＋ｓ（１，√３）＝（－２＋ｓ　，√3ｓ）　・・・・①

これら2つは同じ成分なので
２－（５ｒ／２）＝－２＋ｓ　　・・・・・★
√3ｒ／２　　＝　√3ｓ　　　　　・・・・・●　
●より　　√３　ｒ＝２√３　ｓ　　ｒ＝２ｓとなりこれを★へ代入
　２－（１０ｓ／２）＝－２＋ｓ
　２－５ｓ＝－２＋ｓ　　　　よってｓ＝２／３　　ｒ＝２ｓより　ｒ＝４／３

ＯＮは①より　（－２＋ｓ　，√3ｓ）より
　　　　　　　　　（－２＋　２／３　，√３・（２／３））＝（－４／３　，２√３／３）

（３）ここで図の中のＭとＮを消しましょう
　　そしてまた誘導に沿って　Ｐを書き込み
　（場所未定なので第一象限にしておきます）
　　ＰからＣＥに垂線を引きＥＰをひき
　　　ＣからＥＰに垂線を引きます。Ｈも書き込みます
　　
そこからスタート　はい！！　位置ベクトルです
　　Ｐのｘ成分は　１です　ｙ座標は問題文より　aとします
　　ＥはＢの点対称の点（－１，－√３）
　　ＥＰ＝ＯＰ－ＯＥ＝（１，a)　－（－１，－√3）
　　　　　　　　　　　　＝（２，a＋√３）　・・・・・・・・☆

　　続いてＨの座標は　ｙ座標がＰと同じ　つまり　a
　　　　　　　ｘ座標をｍとする。　ＣＨとＥＰが垂直なのがわかります
　　　はい！！センター王道　　垂直条件　内積ゼロ運動！！
　　　に持っていきます

　　　　　　ＣＨ＝ＯＨ－ＯＣ＝（ｍ，a)－（－１，√3）＝（ｍ＋１　，a－√3）
　　　　　☆より　ＥＰ＝（２，a＋√３）　　
　成分を使った内積公式より　垂直条件　内積ゼロ投入！！
　　　　　２（ｍ＋１）＋（a－√3）（a＋√3）＝０
　　　　　２ｍ＝－a^2＋１　　となり　　ｍ＝（－a^2＋１）／２　　
　　　　　よってＨ（（－a^2＋１）／２　，a　）

ラストも内積
　ＯＰ・ＯＨ＝｜ＯＰ｜｜ＯＨ｜cosθ　　・・・・・・ア
Ｐ（１，a）より
　｜ＯＰ｜＝√（１＾２＋a＾２）＝√（a＾２＋１）
　｜ＯＨ｜＝√（（－a^2＋１）／２）＾２　＋a^2)
              ＝√（（a^4ー２a^2＋１）／４）＋a^2
             　＝√（a^4+２a^2＋１)／４
　　　　　　　＝√｛（a^2+1)^2／４｝＝（a^2＋１）／２

成分で内積計算しておきます　Ｐ（１，a) H（（－a^2＋１）／２　，a　）　より

ＯＰ・ＯＨ＝（－a^2＋１）／２　　＋　a^2 ＝（a^2＋１）／２　　

準備完了　　アより
（a^2＋１）／２　　　＝√（a＾２＋１）・　（a^2＋１）／２　・cosθ
両辺　（a^2＋１）／２　で割ります
　　　　１＝√（a＾２＋１）・cosθ　　　　　　　　cosθ＝１２／１３　より
　　　　１＝√（a＾２＋１）・１２／１３
　　　　１３＝１２√（a＾２＋１）　　　両辺2乗で　
　　　　１６９＝１４４（a^2＋１）
　　　　１４４a^2＝２５
　　　　　　　a^2＝２５／１４４
　　　　　　　a＝±５／１２

今年は例年より解きやすい問題が多いですが要所要所に
センターでは初見となる問題も散見されました。
そしてセンター特有の誘導が今年は丁寧でした。

計算が多いところが大問の後半部で多いのは毎年の傾向ですね。
まずは基本から　徹底して練習しましょう。
　　
　　　　　
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大問1　　［１］
cos２α　＋cos２β＝４／１５　　・・・・①
 cosα・cosβ＝－2√１５／１５　・・・②

①を2倍角公式で変形
　　　２(cosα）＾２－１＋２(cosβ）＾２－１＝４／１５
　　　　　(cosα）＾２＋(cosβ）＾２=１７／１５

②の両辺を２乗する
　　　　(cosα）＾２(cosβ）＾２＝４／１５

ここで(cosα）＾２＝X　　　　　(cosβ）＾２＝Yとおくと

X+Y＝１７／１５　　XY=４／１５
このXとYを2解とする　2次方程式は

ｘ＾２－（１７／１５）ｘ＋（４／１５）＝０
整理して
（３ｘ－１）（５ｘ－４）＝０　ｘ＝１／３　，４／５

つまり　XとYは　１／３　，４／５のどちらか
ここで条件式　｜cosα｜≧｜cosβ|   よりこれを２乗すると
　　　　　　　　　　(cosα)　^2≧(cosβ)　^2となるので

　　　　　　　　(cosα）＾２＝４／５　　　（cosβ）＾２＝１／３
　　②よりcosαと　cosβ　は　異符号どうし
　　　　　　cosの値は第一象限と第二象限で考えると
　　　　　　　角度が大きくなるほど小さくなる
よって
解答の形を見て　cosα＝２√5／５　　　cosβ＝－√3／３　　←　マイナスに注意


［２］　この問題は図は書く必要なし
真数条件より　p>0  q>0　・・・・・・・・・・・・・★

A(０，３／２）　　B(ｐ，log［２］ｐ）より
内分公式より

ｘ＝（１・ｐ＋２・０）／１＋２　＝ｐ／３＝（１／３）ｐ
ｙ＝（１・log[2]p＋２・３／２）／１＋２　＝（１／３）log[2]p　＋１
これでチ～ナが埋まります

ｐ／３　＝ｑ　・・・④
（１／３）log[2]p　＋１＝log[2]q ・・・・⑤
⑤×３
log[2]p＋３＝３log[2]q
ログの公式使い
log[2]p＋３＝log[2](q^3)
log[2](q^3)－log[2]p＝３
log[2]（ｑ＾３／ｐ）＝log[2]８
　ｐ＝（１／８）q^3    ・・・・・・・・・・・⑥
④はｐ＝３ｑ　となりこのまま⑥に代入
３ｑ＝（１／８）q^3 
２４q＝ｑ＾３　

ｑ（ｑ＾２－２４）＝０　・・・・・★より　ｑは０にならない　よってｑ＾２＝２４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　q=２√６
ｐ＝３ｑ＝３・２√６＝６√６


log[2]６√６＝log[2]２√６＝log[2］√２４
　　　　　　　＝log[2]√（２＾３・３）＝log[2]（２＾（３／２）・３＾（１／２））
　log[2]（２＾（３／２）＋log[2]（３＾（１／２））＝３／２　＋（１／２）log[2]３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３／２　＋（１／２）（log[１０]３／log[１０]２）
　３／２　＋（１／２）（０．４７７１／０．３０１０）
　＝１．５＋　（１／２）・１．５９　＝１．５＋約０．８＝約２．３


大問２
（１）　　今年は与えられた２次関数が簡単なのと
　　　　接線方程式さえ知ってれば簡単でした

y=x^2+1
y'=２ｘ　より（ｔ，ｔ＾２＋１）での接線方程式は
ｙ－（ｔ＾２＋１）＝２ｔ（ｘ－ｔ）
よってｙ＝２ｔｘ－ｔ＾２＋１

この直線がP（a ,2a)を通るとき
2a＝２ｔa－ｔ＾２＋１
ｔ＾２－２at＋2a－１＝０
ｔ^2－１－２a(t－１）＝０
（ｔ＋1)(t－１）－２a（ｔ－１）＝０
（ｔ－１）（ｔ＋１－２a）＝０
ｔ＝１　、　２a－１　・・・・★
★が重解になると接線が２本にならないので
２a－１=1 とならないようにする
つまりa≠１

ｙ＝２ｔｘ－ｔ＾２＋１　より
ｔ＝２a－１のとき
ｙ＝２（2a－１）ｘ－（2a－１）＾２＋１
　＝（４a－２）ｘ－４a^2＋４a ・・・・・・①
ｔ＝１のとき
　ｙ＝２・１ｘ－１＾２＋１
　ｙ＝２ｘ　

（２）　ℓ：　ｙ＝　（４a－２）ｘ－４a^2＋４a　　　R(０，ｒ）　
　　　　　　ｘ＝０として　　ｒ＝－４a^2＋４a
　　　　ｒ＞０となるのは　－４a^2＋４a＞０
　　　　　　　　　　　　　　　これを解いて　０＜a＜１
　　　　△OPRはORを底辺　高さはPのｘ座標より
　　　　S=（－４a^2＋４a）・a÷２＝－２a＾３＋２a^2＝２（a^2－a^3)
      ０＜a＜１で増減表　　　S'=－６a＾２＋４a=－２a(3aー２）　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　S’＝０になるのはa=０と２／３

　　　　　a　０　・・・・　２／３　・・・・　１
　　　　　ｙ’　　　　＋　　　０　　ー
　　　　　ｙ　　　　↗　　　　　　　↘
　　　
　　　よって最大は　a＝2／３　のとき　Ｓ＝２（a^2－a^3)=2（４／９　－８／２７）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝８／２７
　　（３）０＜a＜１で積分　
　　　　　Ｔ＝∫　（ｘ＾２＋１）－（（４a－２）ｘ－４a^2＋４a）　
　　　　　　＝７a＾３／３　－３a^2 +a
        2／３　≦a＜１で　　　Ｔ’＝７a^2ー６a+1をグラフを書いてみると　 常に正
　よって　Ｔは増加

 
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