こんにちは!
篠崎駅と瑞江駅のちょうど真ん中にある、
個別指導plus1の小山です!
大問3
(1) 等比数列 S[n] =1・2^(n-1)=2^(n-1)
s[1]=1 s[2]=2 s[3]=4
s[1]・s[2]・s[3]=1・2・4=8
s[1]+s[2]+s[3]=1+2+4=7
(2)s[n]=x・r^(n-1)
s[1]=x s[2]=xr s[3]=xr^2
s[1]・s[2]・s[3]=x・xr・xr^2=x^3・r^3=a^3 ・・・①
①よりxrは実数なので xr=a ・・・・③
x+xr+xr^2=b・・・・②
③より x=a/r
これを②代入
(a/r)+(a/r)・r+(a/r)・r^2=b
(a/r)+a +ar =b ・・・・★ aが0ではないので
ここまでの流れを見てもrも0にはならない
★を両辺r倍 a+ar+ar^2=br
ar^2+(a-b)r+a=0 ・・・・④
④を満たす実数rが存在するので
2次方程式で実数解rが存在 →判別式が0以上
(a-b)^2-4a・a≧0
3a^2+2ab-b^2≦0 ・・・・⑤
(3)a=64 b=336 r>1
③より xr=64
④より 64r^2+(64-336)r+64=0
4r^2-17r+4=0 (4r-1)(r-4)=0 r=1/4 ,4
r>1より r=4 よって③より x=16
よってs[n]=16・4^(n-1)
t[n]=s[n]・log[4]s[n] より
=16・4^(n-1)・log[4](16・4^(n-1))
指数法則を使い
=4^(n+1) ・ log[4]4^(n+1)
ログの公式より真数の指数部分を前に持ってくる
=4^(n+1)・(n+1)=(n+1)・4^(n+1) ・・・★
★は n+1のところが等差数列 4^(n+1)は等比数列
U[n]=2・(4^2) +3・(4^3)+・・・・+(n+1)・4^(n+1)
4U[n] +2・(4^3) + n・4^(n+1) +(n+1)・4^(n+2)
上引く下を実行
-3U[n]=2・(4^2)+1・(4^3)+・・・+1・4^(n+1) - (n+1)・4^(n+2)
等比数列の和(n-1)項分
-3U[n]=32+{64・4^(n-1)-1}/(4-1) - (n+1)・4^(n+2)
-3U[n]=32+{64・4^(n-1)}-1/3 - (n+1)・4^(n+2)
両辺3倍
-9U[n]=96+64・{4^(n-1)-1} - 3(n+1)・4^(n+2)
-9U[n]=96+64・{4^(n-1)-1} - 3(n+1)・4^(n+2)
-9U[n]=32+4^(n+2)- 3(n+1)・4^(n+2)
9U[n]=-32-4^(n+2)+ 3(n+1)・4^(n+2)
9U[n]=(3n+2).4^(n+2) -32
U[n]={(3n+2)/9}.4^(n+2) -32/9
大問4 平面ベクトル 正六角形 座標平面上
座標があるのですべて座標が求まるか→正六角形なので線対称が活用可能
半径2の円(単位円代わりになるのかな)
(1)先に座標平面に円を書き正六角形書いておきましょう
さてA(2,0)なので D(-2,0) Bの座標ですが
三角形OABを考え、これが正三角形なので1:2:√3を使うと
B(1,√3)ですね
(2)問題の誘導に乗っかって図に記入していきましょう
MやNを記入していきます。
ここから先 ベクトルの→は省略します。
まずはONは後回し。準備としてAMを考えます。
センター恒例、位置ベクトルであらわしましょう
AM=OM-OA です。 OMは中点の位置ベクトルより (OB+OD)/2
=(OB+OD)/2 - OA
=(-2+1,0+√3)/2 -(2,0)
=(-5/2 ,√3/2) CはBのy軸に対称の位置 (-1,√3)
DC =(-1,√3)-(-2,0)
=(1,√3)
さあONに移りましょう
ON=OA+rAM
ON=OD+sDC を使います(誘導に乗っかる)
ON=(2,0)+r(-5/2 ,√3/2)=(2-(5r/2),(√3r/2))
ON=(-2,0)+s(1,√3)=(-2+s ,√3s) ・・・・①
これら2つは同じ成分なので
2-(5r/2)=-2+s ・・・・・★
√3r/2 = √3s ・・・・・●
●より √3 r=2√3 s r=2sとなりこれを★へ代入
2-(10s/2)=-2+s
2-5s=-2+s よってs=2/3 r=2sより r=4/3
ONは①より (-2+s ,√3s)より
(-2+ 2/3 ,√3・(2/3))=(-4/3 ,2√3/3)
(3)ここで図の中のMとNを消しましょう
そしてまた誘導に沿って Pを書き込み
(場所未定なので第一象限にしておきます)
PからCEに垂線を引きEPをひき
CからEPに垂線を引きます。Hも書き込みます
そこからスタート はい!! 位置ベクトルです
Pのx成分は 1です y座標は問題文より aとします
EはBの点対称の点(-1,-√3)
EP=OP-OE=(1,a) -(-1,-√3)
=(2,a+√3) ・・・・・・・・☆
続いてHの座標は y座標がPと同じ つまり a
x座標をmとする。 CHとEPが垂直なのがわかります
はい!!センター王道 垂直条件 内積ゼロ運動!!
に持っていきます
CH=OH-OC=(m,a)-(-1,√3)=(m+1 ,a-√3)
☆より EP=(2,a+√3)
成分を使った内積公式より 垂直条件 内積ゼロ投入!!
2(m+1)+(a-√3)(a+√3)=0
2m=-a^2+1 となり m=(-a^2+1)/2
よってH((-a^2+1)/2 ,a )
ラストも内積
OP・OH=|OP||OH|cosθ ・・・・・・ア
P(1,a)より
|OP|=√(1^2+a^2)=√(a^2+1)
|OH|=√((-a^2+1)/2)^2 +a^2)
=√((a^4ー2a^2+1)/4)+a^2
=√(a^4+2a^2+1)/4
=√{(a^2+1)^2/4}=(a^2+1)/2
成分で内積計算しておきます P(1,a) H((-a^2+1)/2 ,a ) より
OP・OH=(-a^2+1)/2 + a^2 =(a^2+1)/2
準備完了 アより
(a^2+1)/2 =√(a^2+1)・ (a^2+1)/2 ・cosθ
両辺 (a^2+1)/2 で割ります
1=√(a^2+1)・cosθ cosθ=12/13 より
1=√(a^2+1)・12/13
13=12√(a^2+1) 両辺2乗で
169=144(a^2+1)
144a^2=25
a^2=25/144
a=±5/12
今年は例年より解きやすい問題が多いですが要所要所に
センターでは初見となる問題も散見されました。
そしてセンター特有の誘導が今年は丁寧でした。
計算が多いところが大問の後半部で多いのは毎年の傾向ですね。
まずは基本から 徹底して練習しましょう。
センター2017 数ⅡB 大問1・2
センター2017 数ⅠA 大問1・2・3
センター2017 数ⅠA 大問4・5
■個別指導Plus1
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大問3
(1) 等比数列 S[n] =1・2^(n-1)=2^(n-1)
s[1]=1 s[2]=2 s[3]=4
s[1]・s[2]・s[3]=1・2・4=8
s[1]+s[2]+s[3]=1+2+4=7
(2)s[n]=x・r^(n-1)
s[1]=x s[2]=xr s[3]=xr^2
s[1]・s[2]・s[3]=x・xr・xr^2=x^3・r^3=a^3 ・・・①
①よりxrは実数なので xr=a ・・・・③
x+xr+xr^2=b・・・・②
③より x=a/r
これを②代入
(a/r)+(a/r)・r+(a/r)・r^2=b
(a/r)+a +ar =b ・・・・★ aが0ではないので
ここまでの流れを見てもrも0にはならない
★を両辺r倍 a+ar+ar^2=br
ar^2+(a-b)r+a=0 ・・・・④
④を満たす実数rが存在するので
2次方程式で実数解rが存在 →判別式が0以上
(a-b)^2-4a・a≧0
3a^2+2ab-b^2≦0 ・・・・⑤
(3)a=64 b=336 r>1
③より xr=64
④より 64r^2+(64-336)r+64=0
4r^2-17r+4=0 (4r-1)(r-4)=0 r=1/4 ,4
r>1より r=4 よって③より x=16
よってs[n]=16・4^(n-1)
t[n]=s[n]・log[4]s[n] より
=16・4^(n-1)・log[4](16・4^(n-1))
指数法則を使い
=4^(n+1) ・ log[4]4^(n+1)
ログの公式より真数の指数部分を前に持ってくる
=4^(n+1)・(n+1)=(n+1)・4^(n+1) ・・・★
★は n+1のところが等差数列 4^(n+1)は等比数列
U[n]=2・(4^2) +3・(4^3)+・・・・+(n+1)・4^(n+1)
4U[n] +2・(4^3) + n・4^(n+1) +(n+1)・4^(n+2)
上引く下を実行
-3U[n]=2・(4^2)+1・(4^3)+・・・+1・4^(n+1) - (n+1)・4^(n+2)
等比数列の和(n-1)項分
-3U[n]=32+{64・4^(n-1)-1}/(4-1) - (n+1)・4^(n+2)
-3U[n]=32+{64・4^(n-1)}-1/3 - (n+1)・4^(n+2)
両辺3倍
-9U[n]=96+64・{4^(n-1)-1} - 3(n+1)・4^(n+2)
-9U[n]=96+64・{4^(n-1)-1} - 3(n+1)・4^(n+2)
-9U[n]=32+4^(n+2)- 3(n+1)・4^(n+2)
9U[n]=-32-4^(n+2)+ 3(n+1)・4^(n+2)
9U[n]=(3n+2).4^(n+2) -32
U[n]={(3n+2)/9}.4^(n+2) -32/9
大問4 平面ベクトル 正六角形 座標平面上
座標があるのですべて座標が求まるか→正六角形なので線対称が活用可能
半径2の円(単位円代わりになるのかな)
(1)先に座標平面に円を書き正六角形書いておきましょう
さてA(2,0)なので D(-2,0) Bの座標ですが
三角形OABを考え、これが正三角形なので1:2:√3を使うと
B(1,√3)ですね
(2)問題の誘導に乗っかって図に記入していきましょう
MやNを記入していきます。
ここから先 ベクトルの→は省略します。
まずはONは後回し。準備としてAMを考えます。
センター恒例、位置ベクトルであらわしましょう
AM=OM-OA です。 OMは中点の位置ベクトルより (OB+OD)/2
=(OB+OD)/2 - OA
=(-2+1,0+√3)/2 -(2,0)
=(-5/2 ,√3/2) CはBのy軸に対称の位置 (-1,√3)
DC =(-1,√3)-(-2,0)
=(1,√3)
さあONに移りましょう
ON=OA+rAM
ON=OD+sDC を使います(誘導に乗っかる)
ON=(2,0)+r(-5/2 ,√3/2)=(2-(5r/2),(√3r/2))
ON=(-2,0)+s(1,√3)=(-2+s ,√3s) ・・・・①
これら2つは同じ成分なので
2-(5r/2)=-2+s ・・・・・★
√3r/2 = √3s ・・・・・●
●より √3 r=2√3 s r=2sとなりこれを★へ代入
2-(10s/2)=-2+s
2-5s=-2+s よってs=2/3 r=2sより r=4/3
ONは①より (-2+s ,√3s)より
(-2+ 2/3 ,√3・(2/3))=(-4/3 ,2√3/3)
(3)ここで図の中のMとNを消しましょう
そしてまた誘導に沿って Pを書き込み
(場所未定なので第一象限にしておきます)
PからCEに垂線を引きEPをひき
CからEPに垂線を引きます。Hも書き込みます
そこからスタート はい!! 位置ベクトルです
Pのx成分は 1です y座標は問題文より aとします
EはBの点対称の点(-1,-√3)
EP=OP-OE=(1,a) -(-1,-√3)
=(2,a+√3) ・・・・・・・・☆
続いてHの座標は y座標がPと同じ つまり a
x座標をmとする。 CHとEPが垂直なのがわかります
はい!!センター王道 垂直条件 内積ゼロ運動!!
に持っていきます
CH=OH-OC=(m,a)-(-1,√3)=(m+1 ,a-√3)
☆より EP=(2,a+√3)
成分を使った内積公式より 垂直条件 内積ゼロ投入!!
2(m+1)+(a-√3)(a+√3)=0
2m=-a^2+1 となり m=(-a^2+1)/2
よってH((-a^2+1)/2 ,a )
ラストも内積
OP・OH=|OP||OH|cosθ ・・・・・・ア
P(1,a)より
|OP|=√(1^2+a^2)=√(a^2+1)
|OH|=√((-a^2+1)/2)^2 +a^2)
=√((a^4ー2a^2+1)/4)+a^2
=√(a^4+2a^2+1)/4
=√{(a^2+1)^2/4}=(a^2+1)/2
成分で内積計算しておきます P(1,a) H((-a^2+1)/2 ,a ) より
OP・OH=(-a^2+1)/2 + a^2 =(a^2+1)/2
準備完了 アより
(a^2+1)/2 =√(a^2+1)・ (a^2+1)/2 ・cosθ
両辺 (a^2+1)/2 で割ります
1=√(a^2+1)・cosθ cosθ=12/13 より
1=√(a^2+1)・12/13
13=12√(a^2+1) 両辺2乗で
169=144(a^2+1)
144a^2=25
a^2=25/144
a=±5/12
今年は例年より解きやすい問題が多いですが要所要所に
センターでは初見となる問題も散見されました。
そしてセンター特有の誘導が今年は丁寧でした。
計算が多いところが大問の後半部で多いのは毎年の傾向ですね。
まずは基本から 徹底して練習しましょう。
センター2017 数ⅡB 大問1・2
センター2017 数ⅠA 大問1・2・3
センター2017 数ⅠA 大問4・5
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南篠崎教
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