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タグ:数学IA

こんにちは!

篠崎駅と瑞江駅のちょうど真ん中にある、個別指導plus1の小山です!


4番 整数分野
今年はどう来るかなと思いましたが、まさかの倍数の判定法
渋いというか。。。。約数の個数は常連、進法も常連だったのですが
倍数の判定法とは

といっても倍数の判定法は中学受験の小6でも知ってますので
高3生は抜かりなくやってきたことでしょう。

4で割れる・・・・下二けた00 または下二けたが4の倍数
9で割れる・・・・各桁の和が9の倍数


これを知ってれば 37aが4の倍数になるには
             7aが4の倍数 よって72 76 以上
           a=2,6
(2)も 7b5c が9の倍数になるのは 7+5+b+c=9の倍数
                         12+b+c=9の倍数
                         b+cは9+9=18がMAXなので
                          b+c=6or15 ・・・・★
   ここで7b5c が4の倍数になるのは 5cのところが52or56
          つまりc=2or6 ・・・・△
  ★と△を総括して b=4,c=2
             b=0,c=6
             b=9,c=6   以上7452、7056、7956の3通り
 このうち 7b5cがMinになるのは 7056 b=0,c=6のとき
       7b5cがMaxになるのは 7956 b=9,c=6のとき

  7b5c=(6×n)^2 となるb、c、nを決める問題
これは36・n^2 つまり4でも9でも割れる
  上記の7452、7056、7956の3通りそれぞれ
       36×207  36×196 36×221 となり
   36×14^2となります  よってb=0 c=6 n=14となります

(3)約数の個数 これは集合のあたりにも公式がありましたね

  素因数分解 右肩の指数に1をたして それらをかける

  1188=2^*3^*11^
   よって個数は (2+1)*(3+1)*(1+1)=24個
 
1188の約数は24個ともどれも2^a*3^b*11^cという形であらわせます
                                                ただし a=0,1,2   b=0,1,2,3  c=0,1

 この24個のうち2の倍数はa=0だと2の倍数に絶対になれないので
    a=1or2  b=0,1,2,3  c=0,1 となり 2×4×2=16個
 同様に4の倍数はa が2以上が絶対条件
 a=2  b=0,1,2,3  c=0,1 となり 1×4×2=8個

最後は

10進法なら0が続く個数=10で割れる回数
ということを利用する  10000 なら4回10で割れる

例 2進法で110000 これは10進法にすると
1×2^5+1×2^4+0×2^3+0×2^2+0×2^1+0×2^0=48
「10進法で48は2進法で表すと末尾に0がいくつ続きますか?」
48÷2=24
24÷2=12
12÷2=6
6÷2=3   
ということで4回2で割れる   そして10進法48=2進法110000 0が4個ですね

今回の問題は1188のすべての約数の積が2で何回われるかに帰着します。
そこで直前の問題 約数24個のうち2の倍数が16個 4の倍数は8個
16+8=24 24個並ぶことになります。

★最後の問題はセンターにしては新傾向で厄介だと思います。
 私大の一般入試とか、受験用問題集では見かけますが・・・
 
5番  平面図形(今年は三角比も含む)
     今年は簡単でしたね。
まず△ABCをしっかりかくこと  辺の長さから 角Cが鋭角(角度小さ目)の
鋭角三角形です。

ABを短く書きましょう
そうすると 外接円も書きやすいです。

書けましたら、ADが3 CD=4なので方べきの定理(センターおなじみ)
CE・CB=CD・CA より
     =4・7=28  アイが28
そのままCE・8=28   CE=7/2  ウエ

次ですが、最初に三角形をしっかり描かないとここでミスする場合があります
Fの位置はABをAのほうに延長し DEをDのほうに延長させた線の交点です

ツイッターを見てたら 下のほうに(B側やE側に無理やり伸ばした人がいるようで)


メネラウスを使います(これもセンター王道)
BF/AF ・ AD/DC ・ CE/BE =1 ★

CE/BE=7/2 ÷9/2=7/9 より
★は BF/AF ・ 3/4 ・ 7/9  =1  よってBF/AF =12/7
AFをxとおくと BF=3+xとなるので
 (3+x)/x =12/7  この1次方程式を解いて x=21/5
このあたりの方程式も分数ですが頑張りましょう。

次の∠ABCですが余弦定理を使うパターンともう一つあります

まず余弦定理
cos∠ABC =3^2+8^2-7^2)/(2・3・8)=1/2  よって∠ABC=60度

もう一つのやり方はAからBCに垂線AHを下ろし△ABHと△AHCで
AH^2を三平方の定理を使って2パターンで表しドッキング
(中3ないし高1で1度は経験あるはず)を使って
BHが3/2 とでるので △ABHが直角三角形でAB=3 BH=3/2より
cos∠ABCは定義通り BH/AB よって3/2 ÷3 =1/2 よって60度

昨年までの平面図形の大問では三角比や正弦余弦定理を使わなかったので
使ってはいけないというかどこかで、その発想を遮断させた可能性もありますが
冷静に使えるものをどんどん投入という意識があったかで分かれたでしょう。

内接円の半径ですがこれも王道 三角形の面積と絡める(センターや一般で必須)
まず△ABCの面積を面積公式で6√3と出しておきます
内接円の半径をrとすれば
△IBC+△ICA+△IAB=△ABCなので
8×r÷2+7×r÷2+3×r÷2=△ABC 
よってr=2√3/3  

最後は内心の定義 内心は三つの内角の角の2等分線の交点です
そこでBの角の二等分線を引きIに結びます
Iから垂線IZをおろし
△IBZという直角三角形を作ると ∠IBZ=30度となります IZ=r=2√3/3
なので

sin30°=IZ/IB
 1/2  =2√3/3  ÷ IB   よって IB=4√3/3


おおむね解きやすい問題が多いですが
ところどころ難しさもあったかもしれません 平均点は昨年より上がるでしょうが
一時期の60点後半とか70点になることはないとおもいます。

後半3つの選択問題の選び方も左右したかもしれません。

 ■個別指導Plus1




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数ⅠA
大問1[1] これは旧課程時代(3年前以前の過去問)
を練習していれば簡単です。(対称式とか毎年出てた時もありました)
数年前までの大手予備校模試では必ず出てた形

理系の生徒は途中の3乗が絡んだところで、数Ⅱの3乗の因数分解公式に
持ち込んだ人
も多いのでは
・3乗公式を使わないときは、ウのところを文字で置いて
 展開して左辺と係数比較
                    若干数Ⅱ要素強いか。。。。

大問1[2] これは論理の問題 おなじみといえばおなじみ
       (1)「かつ」「または」とその否定がどういうものかを
       理解してないとミスするはず。 
       同値をうまく利用していく。 (x^2=1 ならx=±1のように)
       (2)の問題のCはここ数年よく出る
       対偶にしてから解く問題。それ以外は簡単でした。
       選択肢の形式は2006年のようなかんじでしたね。
    
    [3] 2次関数の問題  どこか懐かしい2014年度以来の
       文字入りの2次関数の式を平方完成して頂点だすというセンターお決まりのパターン
       しかし受験者はaの4乗とかが目に見えた時点で、拒否反応が来たのでは・・・
   
       しかし無視してがりがり計算すれば 頂点いっちょ上がり
       もう1問aの2次式を平方完成
       ここからは誘導に乗りながらaの2乗をtにして平方完成をして最小値
        ここで気をつけるべきはtの変域 aの2乗がtの正体なので
       t≧0で最小値考える

  
大問2 [1]三角比の問題 
        簡単目でしたね。ルートが2か所入っていましたが相殺されるところもあり
       (1)余弦定理そのもの
          その後,正弦定理を用いてsinの値と外接円の半径Rを出す
         続いて△ABDの面積を面積公式を使って式を作りそこから
         AB・ADの値を出す。ここが少し煩雑化してました。
         そこから最後はABの長さで割ればADはでます


 昔のセンターの三角比を踏襲している気がします。奇問ではありません

大問2 [2]データの分析
       おととしと昨年を合わせたような問題
       (1)散布図の読み取り
          選択肢0はXとVの相関はXとVの相関より強い
          →そもそもXとVに相関関係がみられない →×
          選択肢1はXとYとの間に正の相関がある→確かにあるので〇
          選択肢2はVが最大のジャンプはXも最大→XV散布図のVの最大見ると
                                      Xは最大になってない
          選択肢3はVが最大のジャンプはYも最大→YV散布図のVの最大見ると
                                      Yは最大になってない
          選択肢4はYが最小のジャンプはXは最小でない→XY散布図見るとOK
          選択肢5はXが80以上はすべてVは93以上→XV散布図見ると1個だけ違う 
          選択肢6はYが55以上かつVが94以上はなし→YV散布図みると真っ白 〇
      よって1、4,6

       (2)変量変換の問題
         変量変換で必要な知識
         
         〇a 倍すると、分散は a2 倍されます。定数を足し引きしても分散は変わらない。、
         〇X の分散は D の分散の 1.802=3.24 倍となります。
  

         〇共分散は、定数を足し引きしても変わらない。
            a 倍すると共分散も a 倍される。
           XY との共分散は、 DY との共分散の 1.8倍

           定数と足し引きしても、正の数を掛けたり割ったりしても相関係数は変わらない
            相関係数と変量変換
       よって ④③②です

       (3)AとBのヒストグラムを見ていきます
          1回目の X+Y の最小値が 108.0 である
         この情報から、 B のヒストグラムは「100以上105未満」の階級のデータがあるので
         1回目はA、2回目はB
         
         続いて箱ひげ図
         四分位範囲とは箱の右端から左端を引いたもの
         Aのほうは四分位範囲 129-116-13
         Bのほうは         125-110=15 よって選択肢0は×
         Aの中央値 は124  Bの中央値 114  よって選択肢1はOK
         ほかの選択肢も同様にチェックするとバツ

         よって答えは①
大問3           
      「少なくとも」は余事象を考えて計算します。
      「排反」とは「同時には起こらない」という意味。
      この2つと加法定理さらに条件付確率がわかれば今年の確率は簡単でした。
      ネット上では苦労した生徒が多いようで・・・・・

    (1)  A       B     C
        〇      〇     ×
        〇      ×     〇
        〇      ×     ×
        ×      〇     〇     
        ×      〇     ×
        ×      ×     〇  ←これだけAもBも当たってない
     よって 5/6 がこたえ
    (2) 3人で2本のあたりを引く E  これは
        一人はずれということ
      よって
       〇〇×
       〇×〇
       ×〇〇 の3通り ①③⑤    6通りのうち3通り➡1/2
    
    (3) (1)の5通りの条件下で(2)の3通り    3/5
       もしくは(2)÷(1)  1/2 ÷5/6 =3/5

   (4)BC少なくとも一方があたりのくじを引く確率E2は 
      〇〇×  〇×〇 ×〇〇 ×〇×  ××〇   035  さらによって5/6

      もうお気づきでしょうが E3も5/6 
      最後もp1=3/5  p2=3/5 p3=3/5   よって⑥が答え



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